Posts Tagged ‘概率论’

November 18, 2009
若干概率问题
  • 　　分别抛两次硬币，无非三种情况：两正、两反、一正一反。所以，一正一反的概率是三分之一。
    　　问题出在哪里？
  • 　　有10个小球，其中6黑4红。现任意取出3个，问全部是红球的概率。是\Large \frac{C_4^1 C_3^1 C_2^1}{C_{10}^3}还是\Large \frac{C_4^3}{C_{10}^3}？
    　　答案是后者，因为三个球是一次性取出的，而\Large C_4^1 C_3^1 C_2^1是一个一个逐次取出的，在取球的过程中就将球给排序了。
    　　那么，再看另外一个问法，同样是一次性取出三个球，问一黑两红的概率。是\Large \frac{C_6^1 C_4^2 }{C_{10}^3}吗？是的，之所以能够先取一个黑球再取两个红球(或者相反)，是因为取黑球和取红球之间是独立的。
    　　再看，如果我要问，至少有一个红球的概率呢？显然应该反求没有红球的概率，为\Large 1-\frac{C_6^3 }{C_{10}^3}=\frac{100}{120}。我是不是还可以这样考虑：先取一个红球，然后再随便取两个球，无论什么颜色，这样概率就是\Large \frac{C_4^1 C_9^2 }{C_{10}^3}有问题吗？当然！\Large \frac{C_4^1 C_9^2 }{C_{10}^3}=\frac {144}{120}！可是为什么呢？因为后面随便取的2个球可能包含红球，这样的话，就犯了第二个问题的错误了。
  • 　　再来一个复杂一点的。6双不同的手套，任取4只。问，只有一双配套的概率。
    　　思路是6双中取一双，然后再设法取两只来自不同的手套。一种方法是从剩下的5双重任取2双，再从中分别各取一只，结果就是\Large \frac{C_6^1 C_5^2 C_2^1 C_2^1}{C_{12}{4}}。另一种方法是从剩下的5双10只中任取1只，然后将与该只配套的手套扔掉，接着再从剩下的8只中再取1只，结果是\Large \frac{C_6^1 C_{10}^1 C_8^1}{C_{12}{4}}。呃，又不相等了……原因只在于这里的C_{10}^1 C_8^1又给两双手套排序了，而取手套本身(C_{12}^4)是无序的。

  • 　　不可能事件发生的概率为0，但概率为0的不一定是不可能时间；同样必然事件发生的概率是1，但概率为1的却不一定是必然事件。这里的不一定是针对连续型随机变量而言的。
Tags: .
Filed under: 数理空间 — ivan @ 2:22 pm Comments (0)
September 19, 2009
一个条件概率问题

问题1 

小两口有俩娃儿，其中有一个生于星期二的男孩儿。问另一个是男孩儿的概率是多少？

　　如果上面的问题略显复杂的话，那么先看下面的这个问题，
问题2 

小两口有俩娃儿，其中第一个是的男孩。问第二个是男孩儿的概率是多少？

　　对于问题2，由于两个孩子的性别和生日(以周记)是独立的，所以第二个是男孩的概率就是1/2。从古典概型的角度来理解，总的样本空间可以表述为Ω ={男，男}，{男，女}，{女，男}，{女，女}，第一个是男孩为事件A={男，男}，{男，女}，第二个是男孩为事件B={男，男}。于是，在第一个为男孩的前提下第二个是男孩的概率为1/2，即P(AB)/P(B)＝(1/4)/(1/2)＝1/2。我们把问题再换一个问法，

Tags: ,.
Filed under: 数理空间 — ivan @ 11:40 am Comments (6)
Page 1 of 11