样本方差为何除以n-1?

dutor — Wed, 28 Oct 2009 02:53:36 +0000

　　方差的概念从小学就开始建立了。对于一个随机变量，分别表示其数学期望和方差，从中随机抽取n个样本，是样本均值，是样本方差。那么为什么样本方差是除以而不是n呢？

　　这里涉及到一个无偏估计的概念，是随机变量，同样也是随机变量，其中是对总体的一个估计，如果的期望分别等于的话，就说这种估计是无偏的。容易证明，但是的证明就不是那么显而易见了，下面我证明给大家看。记为的方差和期望。

D(\overline X)&=&D(\frac1n\sum_{i=1}^nX_i)\\[10pt]
&=&\frac1{n^2}D(\sum_{i=1}^nX_i)\\[10pt]
&=&\frac1{n^2}(\sum_{i=1}^nD(X_i))\\[10pt]
&=&\frac{\sigma^2}n \\[10pt]
\\
E({\overline X}^2)&=&D(\overline X)+E^2(\overline X)\\
&=&\frac{\sigma^2}n+\mu^2 \\
\\
E(S^2)&=&E(\frac1{n-1}\sum_{i=1}^n(X_i-\overline X )^2) \\[10pt]
&=& \frac1{n-1}E(\sum_{i=1}^n(X_i-\overline X )^2) \\[10pt]
&=& \frac1{n-1}E(\sum_{i=1}^n(X_i^2- 2 X_i{\overline X}+{\overline X}^2 ))\\[10pt]
\\
E(\sum_{i=1}^nX_i^2)&=&n E(X_i^2) \\
&=& n(D(X_i)+E^2(X_i)) \\
&=& n(\sigma^2+\mu^2) \\
\\
E(\sum_{i=1}^nX_i{\overline X})&=&E({\overline X}\sum_{i=1}^nX_i) \\[10pt]
&=& nE({\overline X}^2)\\[10pt]
&=& n(D(\overline X) + E^2(\overline X)) \\[10pt]
&=& n(\frac{\sigma^2}{n}+\mu^2) \\[10pt]
\\
E(S^2) &=& \frac n{n-1}(\sigma^2+\mu^2)-\frac n{n-1}(\frac{\sigma^2}n+\mu^2) \\
&=& \sigma^2 \\
\end{array}
" />
证毕～～

　　写这篇文章可费了不少劲，大部分时间都花在了公式的编辑上面，这样写文章是不是很ooxx：

Editor using LaTeX

　　但比起用Mathtype编辑然后上传来说，要省多了，尤其是在熟练以后。

　　写这种篇文章还费了不少的水，一暖壶的水差不多被我喝干了。上卫生间时突然想起小时候和那帮家伙比尿尿，看谁尿的远，现在想来，那是很危险的，如果你的括约肌比较强劲的话……

一个条件概率问题

dutor — Sat, 19 Sep 2009 03:40:26 +0000

问题1

小两口有俩娃儿，其中有一个生于星期二的男孩儿。问另一个是男孩儿的概率是多少？

　　如果上面的问题略显复杂的话，那么先看下面的这个问题，
问题2

小两口有俩娃儿，其中第一个是的男孩。问第二个是男孩儿的概率是多少？

　　对于问题2，由于两个孩子的性别和生日(以周记)是独立的，所以第二个是男孩的概率就是1/2。从古典概型的角度来理解，总的样本空间可以表述为Ω ={男，男}，{男，女}，{女，男}，{女，女}，第一个是男孩为事件A={男，男}，{男，女}，第二个是男孩为事件B={男，男}。于是，在第一个为男孩的前提下第二个是男孩的概率为1/2，即P(AB)/P(B)＝(1/4)/(1/2)＝1/2。我们把问题再换一个问法，
问题3

小两口有俩娃儿，其中有一个是男孩儿。问另一个是男孩儿的概率是多少？

　　仍然从古典概型的角度来考虑，总的样本空间可以表述为Ω ={男，男}，{男，女}，{女，男}，{女，女}，其中一个是男孩为事件A={男，男}，{男，女}，{女，男}，第二个是男孩为事件B={男，男}。于是，在已知有一个男孩的前提下，另外一个是男孩的概率就是1/3。这从感性上也不难理解，自然情况下性别比是1:1(也有人说是49：51的)，你已经有一个男的了，还想再讨一个男孩儿，当然概率要小于1/2了。

　　有问题3的铺垫，这时候问题1我想已经没什么问题了吧，两外一个是男孩的概率就是13/27 = (7 + 6)/(7 + 7 + 7 + 6)。

补充
　　条件概率就是事件 A 在另外一个事件 B 已经发生条件下的发生概率，表示为 P(A|B)＝P(AB)/P(B)。详细的解释参照这里

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