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October 28, 2009
样本方差为何除以n-1?

　　方差的概念从小学就开始建立了。对于一个随机变量X，\mu,\sigma^2分别表示其数学期望和方差，从中随机抽取n个样本X_1,X_2,\ldots,X_n，\overline X=\sum_{i=1}^nX_i是样本均值，S^2=\frac1{n-1}\sum_{i=1}^n(X_i-\overline X )^2是样本方差。那么为什么样本方差是除以n-1而不是n呢？

　　这里涉及到一个无偏估计的概念，X是随机变量，X_i,\overline X, S^2同样也是随机变量，其中\overline X,S^2是对X总体\mu,\sigma^2的一个估计，如果\overline X,S^2的期望分别等于\mu,\sigma^2的话，就说这种估计是无偏的。容易证明E(\overline X)=\mu，但是E(S^2)=E(\frac1{n-1}\sum_{i=1}^n(X_i-\overline X )^2)=\sigma^2的证明就不是那么显而易见了，下面我证明给大家看。记D(X_i),E(X_i)为X_i的方差和期望。

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September 19, 2009
一个条件概率问题

问题1 

小两口有俩娃儿，其中有一个生于星期二的男孩儿。问另一个是男孩儿的概率是多少？

　　如果上面的问题略显复杂的话，那么先看下面的这个问题，
问题2 

小两口有俩娃儿，其中第一个是的男孩。问第二个是男孩儿的概率是多少？

　　对于问题2，由于两个孩子的性别和生日(以周记)是独立的，所以第二个是男孩的概率就是1/2。从古典概型的角度来理解，总的样本空间可以表述为Ω ={男，男}，{男，女}，{女，男}，{女，女}，第一个是男孩为事件A={男，男}，{男，女}，第二个是男孩为事件B={男，男}。于是，在第一个为男孩的前提下第二个是男孩的概率为1/2，即P(AB)/P(B)＝(1/4)/(1/2)＝1/2。我们把问题再换一个问法，

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Filed under: 数理空间 — dutor @ 11:40 am Comments (7)
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