概率统计 – 嫉妒就是承认自己不如别人

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October 28, 2009

　　方差的概念从小学就开始建立了。对于一个随机变量 $X$ ， $\mu,\sigma^2$ 分别表示其数学期望和方差，从中随机抽取n个样本 $X_1,X_2,\ldots,X_n$ ， $\overline X=\sum_{i=1}^nX_i$ 是样本均值， $S^2=\frac1{n-1}\sum_{i=1}^n(X_i-\overline X )^2$ 是样本方差。那么为什么样本方差是除以 $n-1$ 而不是n呢？

　　这里涉及到一个无偏估计的概念， $X$ 是随机变量， $X_i,\overline X, S^2$ 同样也是随机变量，其中 $\overline X,S^2$ 是对 $X$ 总体 $\mu,\sigma^2$ 的一个估计，如果 $\overline X,S^2$ 的期望分别等于 $\mu,\sigma^2$ 的话，就说这种估计是无偏的。容易证明 $E(\overline X)=\mu$ ，但是 $E(S^2)=E(\frac1{n-1}\sum_{i=1}^n(X_i-\overline X )^2)=\sigma^2$ 的证明就不是那么显而易见了，下面我证明给大家看。记 $D(X_i),E(X_i)$ 为 $X_i$ 的方差和期望。