Dutor » 数理空间

出栈序列计数

dutor — Fri, 30 Apr 2010 11:39:46 +0000

　　现有一个数列，另有一个栈Stack和一个队列Queue，Stack与Queue初始为空。现对S中元素依次进行如下操作：

若Stack为空，则从S中取出一个元素入栈；
若Stack非空，则有两种选择：将栈顶元素弹出并入队，或者从S中取出一个元素入栈；
若S元素已经取完则操作结束，否则执行操作1或2。

　　问最终队列Queue有多少种排列情况？聪明且见识广博的你或许一下子就可以说出答案：
　　现在对这个结果进行证明。
　　设1表示入栈操作，0表示出栈操作。那么上面对n个元素的入栈和出栈操作就构成了长度为2n的由0和1组成的序列，其中1和0的个数均为n个，在没有任何限制的情况下，一共有个这样的序列。但是，这里的01序列是建立在一些列的入栈出栈操作的基础上的，因此就会受到入栈、出栈操作的限制。这里，唯一的限制就是栈为空时，无法进行出栈操作。反映到这个01序列中就是，任意位置之前，0的个数都能比1的个数多。因为有了01序列的总数，所以为了找出满足条件的序列的个数，只需要找出不符合条件的序列的个数。
　　假设我们现在找到这样一个不符合条件的序列，那么这个序列中一定存在这样一个最小的位置k，k之前1的个数为m，0的个数为m+1。那么k之后1的个数就是n-m，0的个数为n-m-1。现在我们把k后面的01序列进行取反操作，即0变成1、1变成0。此时整个序列中有n-1个1，n+1个0。由构造过程可知，每一个不满足条件的01序列都唯一地对应一个长度为2n、含有n-1个1、n+1个0的序列。有上述变换的逆操作易知，每一个长度为2n、含有n-1个1、n+1个0的序列都唯一地对应一个不满足条件的01序列。而长度为2n、含有n-1个1、n+1个0的序列得个数为。最后我们就证明了，满足条件的01序列的个数为：

　　这个式子所表示的数列（设为h）叫做卡特兰数（catalan），它具有这样一个特性：

　　还有很多经典问题都可以用卡特兰数来表示，比如矩阵乘法、二叉计数、单调路径等，关于这些问题的原型，请Google之。

[算法]物不知数 – 中国剩余定理

dutor — Wed, 14 Apr 2010 11:59:12 +0000

　　《孙子算经》有云：

今有物不知其数，三三数之剩二；五五数之剩三；七七数之剩二。问物几何？
答曰：二十三。

　　设”此物”为x，则x满足同余方程组：

　　若存在x满足上述方程组，则也满足该方程其中k任意整数，方程的最小正整数解满足，即对3,5,7的最小公倍数求余。
　　在介绍求x的具体方法之前，先介绍两个简单的定理(证明从略)：

被除数增加(或减少)除数的倍数，除数不变，则余数电不变；
被除数扩大(或缩小)指定的倍数，除数不变，则余数扩大(或缩小)同样的倍数(余数总小于除数)。

　　接下来，我们这样构造满足条件的x：x由三项相加得出，其中第一项是5和7的倍数且被3除余2，第二项是3和7的倍数且被5除余3，第三项是3和5的倍数且被7除余2。即。又由于：
所以，于是;
所以;
所以.
最后，
反复观察上述构造过程，我们就不难从中找出规律，而这个规律就是下面要介绍的中国剩余定理，又称孙子定理。它说的是，设为互质整数。为最小公倍数。又有关于W的同余方程组如下：

该方程组有且仅有解

其中，
为调整因子，使得。

over~

若干概率问题

dutor — Wed, 18 Nov 2009 06:22:05 +0000

　　分别抛两次硬币，无非三种情况：两正、两反、一正一反。所以，一正一反的概率是三分之一。
　　问题出在哪里？
　　有10个小球，其中6黑4红。现任意取出3个，问全部是红球的概率。是还是？
　　答案是后者，因为三个球是一次性取出的，而是一个一个逐次取出的，在取球的过程中就将球给排序了。
　　那么，再看另外一个问法，同样是一次性取出三个球，问一黑两红的概率。是吗？是的，之所以能够先取一个黑球再取两个红球(或者相反)，是因为取黑球和取红球之间是独立的。
　　再看，如果我要问，至少有一个红球的概率呢？显然应该反求没有红球的概率，为。我是不是还可以这样考虑：先取一个红球，然后再随便取两个球，无论什么颜色，这样概率就是有问题吗？当然！！可是为什么呢？因为后面随便取的2个球可能包含红球，这样的话，就犯了第二个问题的错误了。
　　再来一个复杂一点的。6双不同的手套，任取4只。问，只有一双配套的概率。
　　思路是6双中取一双，然后再设法取两只来自不同的手套。一种方法是从剩下的5双重任取2双，再从中分别各取一只，结果就是。另一种方法是从剩下的5双10只中任取1只，然后将与该只配套的手套扔掉，接着再从剩下的8只中再取1只，结果是。呃，又不相等了……原因只在于这里的又给两双手套排序了，而取手套本身()是无序的。
　　从52张扑克牌中任取5张，求抓到一对的概率。，想想这是怎么得到的。
　　不可能事件发生的概率为0，但概率为0的不一定是不可能时间；同样必然事件发生的概率是1，但概率为1的却不一定是必然事件。这里的不一定是针对连续型随机变量而言的。
　　独立和互斥的关系。两个随机事件A和B，在P(A)>0且P(B)>0的情况下，A、B独立则A、B不互斥， A、B互斥则A、B不独立。P(A) = 0或者P(B) = 0时，两者等价。

样本方差为何除以n-1?

dutor — Wed, 28 Oct 2009 02:53:36 +0000

　　方差的概念从小学就开始建立了。对于一个随机变量，分别表示其数学期望和方差，从中随机抽取n个样本，是样本均值，是样本方差。那么为什么样本方差是除以而不是n呢？

　　这里涉及到一个无偏估计的概念，是随机变量，同样也是随机变量，其中是对总体的一个估计，如果的期望分别等于的话，就说这种估计是无偏的。容易证明，但是的证明就不是那么显而易见了，下面我证明给大家看。记为的方差和期望。

D(\overline X)&=&D(\frac1n\sum_{i=1}^nX_i)\\[10pt]
&=&\frac1{n^2}D(\sum_{i=1}^nX_i)\\[10pt]
&=&\frac1{n^2}(\sum_{i=1}^nD(X_i))\\[10pt]
&=&\frac{\sigma^2}n \\[10pt]
\\
E({\overline X}^2)&=&D(\overline X)+E^2(\overline X)\\
&=&\frac{\sigma^2}n+\mu^2 \\
\\
E(S^2)&=&E(\frac1{n-1}\sum_{i=1}^n(X_i-\overline X )^2) \\[10pt]
&=& \frac1{n-1}E(\sum_{i=1}^n(X_i-\overline X )^2) \\[10pt]
&=& \frac1{n-1}E(\sum_{i=1}^n(X_i^2- 2 X_i{\overline X}+{\overline X}^2 ))\\[10pt]
\\
E(\sum_{i=1}^nX_i^2)&=&n E(X_i^2) \\
&=& n(D(X_i)+E^2(X_i)) \\
&=& n(\sigma^2+\mu^2) \\
\\
E(\sum_{i=1}^nX_i{\overline X})&=&E({\overline X}\sum_{i=1}^nX_i) \\[10pt]
&=& nE({\overline X}^2)\\[10pt]
&=& n(D(\overline X) + E^2(\overline X)) \\[10pt]
&=& n(\frac{\sigma^2}{n}+\mu^2) \\[10pt]
\\
E(S^2) &=& \frac n{n-1}(\sigma^2+\mu^2)-\frac n{n-1}(\frac{\sigma^2}n+\mu^2) \\
&=& \sigma^2 \\
\end{array}
" />
证毕～～

　　写这篇文章可费了不少劲，大部分时间都花在了公式的编辑上面，这样写文章是不是很ooxx：

Editor using LaTeX

　　但比起用Mathtype编辑然后上传来说，要省多了，尤其是在熟练以后。

　　写这种篇文章还费了不少的水，一暖壶的水差不多被我喝干了。上卫生间时突然想起小时候和那帮家伙比尿尿，看谁尿的远，现在想来，那是很危险的，如果你的括约肌比较强劲的话……

从车说起

dutor — Sun, 18 Oct 2009 13:47:23 +0000

　　今天晚上，和室友去金汉斯吃自助了。回来的406路公交车上望着窗外发呆，一辆奔驰跑车呼啸而过，不禁想，车怎么就向前走了呢。车有很多种，这里的”种”指的不是宝马奔驰法拉利，而是汽车自行车独轮车火车。由于汽车和自行车相对于其他车有更多相似之处，咱们就从简单的自行车说起。

　　自行车，为什么叫自行车？我想应该是相对马车来说的吧。一般的自行车有两个轮子，前轮和后轮。当我们推车时，它们没有什么区别，只是前轮看起来更”重要”一点，因为它决定了车的运动方向。而当我们跨上自行车蹬着踏板向前行使时，情况发生的变化，后轮变得更加主动。人蹬车产生的力矩通过链条传递给后轮，后轮的转动趋势导致车轮与地面摩擦力的产生，正是这个摩擦力使自行车有了向前运动的趋势，它是自行车运动的最直接的驱动力。自行车向前运动的这一趋势最先作用在前轮的转轴上面，它又带动前轮有向前平动的趋势，地面又会产生一个阻碍这一趋势的力，这也是个摩擦力，而且是摩擦阻力。于是自行车在上述两个摩擦力的作用下向前行驶。当然，还有两个力，一个是容易让人忽略的后轮的滚动摩擦力，另外一个就是我们应该忽略的空气阻力和转轴阻力。有时候我们又把后轮叫做主动轮，前轮又叫做从动轮，或者导向轮。这个导向轮非常重要，它不但引导自行车的方向，而且还是自行车不倒的关键所在，大家想想为什么？
　　可能大家都玩过一种小车，叫四驱车，顾名思义，它的四个轮子都是主动轮，前两个轮子还兼职导向轮。由于是四驱，它受到的阻力力几乎只有滚动摩擦和内部传动产生的阻力。这种车擅长爬坡，但代价是耗电(或者耗油)量太大。

　　独轮车，此独轮车绝非郭先生口中的”独轮王八拱”，而是杂技中经常看到的那种。它几乎就是自行的一个简化版，由于它仅有的一个轮子同时担当主动轮和导向轮，所以要想骑这种车，是要花费一番功夫的。

　　火车，这个大家伙，想要挪动挪动，没火车头是万万不能的。它的主动轮全都集中在车头上，而导向，靠的是铁轨和它所有的车轮，火车司机也不再需要转动方向盘了。

　　纵观各车，它们的前进，无不需要一个提供主动力的”轮子”来驱动整个车身，同时还需要一个用作导向的”轮子”以驶向预定的方向。不同种类的车的不同，在于对这两种目的的分配方法，不同的分配方法也导致了它们不同的特性和功用。独轮车轻便，但它不能像笨重的火车一样拉送货物，自行车明显是一种折中。

一个条件概率问题

dutor — Sat, 19 Sep 2009 03:40:26 +0000

问题1

小两口有俩娃儿，其中有一个生于星期二的男孩儿。问另一个是男孩儿的概率是多少？

　　如果上面的问题略显复杂的话，那么先看下面的这个问题，
问题2

小两口有俩娃儿，其中第一个是的男孩。问第二个是男孩儿的概率是多少？

　　对于问题2，由于两个孩子的性别和生日(以周记)是独立的，所以第二个是男孩的概率就是1/2。从古典概型的角度来理解，总的样本空间可以表述为Ω ={男，男}，{男，女}，{女，男}，{女，女}，第一个是男孩为事件A={男，男}，{男，女}，第二个是男孩为事件B={男，男}。于是，在第一个为男孩的前提下第二个是男孩的概率为1/2，即P(AB)/P(B)＝(1/4)/(1/2)＝1/2。我们把问题再换一个问法，
问题3

小两口有俩娃儿，其中有一个是男孩儿。问另一个是男孩儿的概率是多少？

　　仍然从古典概型的角度来考虑，总的样本空间可以表述为Ω ={男，男}，{男，女}，{女，男}，{女，女}，其中一个是男孩为事件A={男，男}，{男，女}，{女，男}，第二个是男孩为事件B={男，男}。于是，在已知有一个男孩的前提下，另外一个是男孩的概率就是1/3。这从感性上也不难理解，自然情况下性别比是1:1(也有人说是49：51的)，你已经有一个男的了，还想再讨一个男孩儿，当然概率要小于1/2了。

　　有问题3的铺垫，这时候问题1我想已经没什么问题了吧，两外一个是男孩的概率就是13/27 = (7 + 6)/(7 + 7 + 7 + 6)。

补充
　　条件概率就是事件 A 在另外一个事件 B 已经发生条件下的发生概率，表示为 P(A|B)＝P(AB)/P(B)。详细的解释参照这里

预测校正法解微分方程

dutor — Mon, 22 Jun 2009 02:12:00 +0000

//! 作者：Hou Fenglin
//! 程序名：euler.cpp
//! euler预测－校正法解微分方程
#include 
#include 
#include 
 
using namespace std;
 
class euler
{
    private:
        int n;
        double f, h, x0, x_last, yc, yp;
    public:
        double func(double z, double t)
        {
            f = (1+z) * t * t / 2;
            return f;
        }
        void pc();
};
 
//主函数
int
main()
{
    euler predictor_corrector;
    predictor_corrector.pc();
}
 
//Euler 预测－校正法
void euler::pc()
{
    cout<<"输入初始条件："<<endl;
    cout<<"\n输入 x0 ";
    cin>>x0;
    cout<<"\n输入y0 ";
    cin>>yc;
    cout<<"\n输入y需要的x值 ";
    cin>>x_last;
    cout<<"\n输入等分数";
    cin>>n;
    h = (x_last - x) / n;
    for(int i = 0; i < n; i++)
    {
        yp = yc + h * func(x0, yc);
        yc += 0.5 * h * (func(x0, yc) + func((x0+h), yp));
        x0 += h;
        cout.precision(10);
        cout<<x0<<setw(15)<<yc<<endl;
    }
}

都是10进制

dutor — Thu, 28 May 2009 10:32:42 +0000

地球人和外星人

关于三角函数的几个图形

dutor — Tue, 26 May 2009 09:40:08 +0000

三角函数与单位圆

角 θ的所有三角函数在几何上可以依据以O点为圆心的单位圆来构造。

特殊角在单位圆中的表示

笛卡尔系内的图像

正余弦图像

正切图像,余切为其倒数

一勺烩：正弦, 余弦, 正切, 余切, 正割, 余割

其他

里萨如图形，正弦信号叠加形成

正弦函数与其五阶泰勒展开

阶跃(矩形)函数的Fourier展开