Bellman-Ford算法简述

  Dijkstra算法是处理单源最短路径的有效算法,但它局限于边的权值非负的情况,若图中出现权值为负的边,Dijkstra算法就会失效,求出的最短路径就可能是错的。这时候,就需要使用其他的算法来求解最短路径,Bellman-Ford算法就是其中最常用的一个。该算法由美国数学家理查德•贝尔曼(Richard Bellman, 动态规划的提出者)和小莱斯特•福特(Lester Ford)发明。Bellman-Ford算法的流程如下:
  给定图G(V, E)(其中V、E分别为图G的顶点集与边集),源点s,

  1. 数组Distant[i]记录从源点s到顶点i的路径长度,初始化数组Distant[n]为\color{red} \infty, Distant[s]为0;
  2. 以下操作循环执行至多n-1次,n为顶点数:
    • 对于每一条边e(u, v),如果Distant[u] + w(u, v) < Distant[v],则另Distant[v] = Distant[u]+w(u, v)。w(u, v)为边e(u,v)的权值;
    • 若上述操作没有对Distant进行更新,说明最短路径已经查找完毕,或者部分点不可达,跳出循环。否则执行下次循环;
  3. 为了检测图中是否存在负环路,即权值之和小于0的环路。对于每一条边e(u, v),如果存在Distant[u] + w(u, v) < Distant[v]的边,则图中存在负环路,即是说改图无法求出单源最短路径。否则数组Distant[n]中记录的就是源点s到各顶点的最短路径长度。

  可知,Bellman-Ford算法寻找单源最短路径的时间复杂度为O(V*E).

Bellman-Ford算法C++实现

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const int MAXINT = 0xFFFF; //~ 不可达的路径长度上限
struct Node
{
    Node(): w(MAXINT){}
    int src, //~ 最短路径上的上一个顶点
        w; //~ 到该节点的路径长度
};
struct Edge
{
    Edge(){}
    Edge(int f, int t): from(f), to(t){}
    int from,
        to;
};
int
main(int argc, char **argv)
{
    vector<vector<int> > Adj;
    int n, // 顶点数
        m, //~ 边数
        from,
        to,
        w,
        start; //~ 源点
    cin>>n;
    vector<Node> Dist(n);
    for(int i = 0; i < n; ++i)
    {
        Adj.push_back(vector<int>(n, MAXINT));
        Adj[i][i] = 0;
    }
    cin>>m;
    vector<Edge> Edges;
    for(int i = 0; i < m; ++i)
    {
        cin>>from>>to>>w;
        Adj[from][to] = w;
        Edges.push_back(Edge(from, to));
    }
    cin>>start; //~ 从顶点start开始的最短路径
    Dist[start].w = 0; //~
    bool flag = true;
    for( int i = 0; i < n - 1; ++i)
    {
        for(int j = 0; j < Edges.size(); ++j)
        {
            from = Edges[j].from;
            to = Edges[j].to;
            if(Dist[from].w == MAXINT || Adj[from][to] == MAXINT)
                continue;
            if(Dist[from].w + Adj[from][to] < Dist[to].w)
            {
                Dist[to].w = Dist[from].w + Adj[from][to];
                Dist[to].src = from;
                flag = false;
            }
        }
        if(flag == true)
            break;
        else
            flag = true;
    }
    //~ 检测有无负环路
    for(int j = 0; j < Edges.size(); ++j)
    {
        from = Edges[j].from;
        to = Edges[j].to;
        if(Dist[from].w == MAXINT || Adj[from][to] == MAXINT)
            continue;
        if(Dist[from].w + Adj[from][to] < Dist[to].w)
        {
            cout<<"Negative Length Cycle Detected!"<<endl;
            return 1;
        }
    }
    //~ 下面代码供测试用
    while(cin>>to)
    {
        int rp = to;
        cout<<Dist[to].w<<" ";
        while(rp != start) //~ 反向输出路径
        {
            cout<<rp<<" <- ";
            if(Dist[to].w == MAXINT) break;
            rp = Dist[rp].src;
        }
        cout<<start<<endl;
    }
    return 0;
}
Tags: ,.
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