若干概率问题 - Dutor－Learn to creep before you leap.

若干概率问题

　　分别抛两次硬币，无非三种情况：两正、两反、一正一反。所以，一正一反的概率是三分之一。
　　问题出在哪里？
　　有10个小球，其中6黑4红。现任意取出3个，问全部是红球的概率。是 $\Large \frac{C_4^1 C_3^1 C_2^1}{C_{10}^3}$ 还是 $\Large \frac{C_4^3}{C_{10}^3}$ ？
　　答案是后者，因为三个球是一次性取出的，而 $\Large C_4^1 C_3^1 C_2^1$ 是一个一个逐次取出的，在取球的过程中就将球给排序了。
　　那么，再看另外一个问法，同样是一次性取出三个球，问一黑两红的概率。是 $\Large \frac{C_6^1 C_4^2 }{C_{10}^3}$ 吗？是的，之所以能够先取一个黑球再取两个红球(或者相反)，是因为取黑球和取红球之间是独立的。
　　再看，如果我要问，至少有一个红球的概率呢？显然应该反求没有红球的概率，为 $\Large 1-\frac{C_6^3 }{C_{10}^3}=\frac{100}{120}$ 。我是不是还可以这样考虑：先取一个红球，然后再随便取两个球，无论什么颜色，这样概率就是 $\Large \frac{C_4^1 C_9^2 }{C_{10}^3}$ 有问题吗？当然！ $\Large \frac{C_4^1 C_9^2 }{C_{10}^3}=\frac {144}{120}$ ！可是为什么呢？因为后面随便取的2个球可能包含红球，这样的话，就犯了第二个问题的错误了。
　　再来一个复杂一点的。6双不同的手套，任取4只。问，只有一双配套的概率。
　　思路是6双中取一双，然后再设法取两只来自不同的手套。一种方法是从剩下的5双重任取2双，再从中分别各取一只，结果就是 $\Large \frac{C_6^1 C_5^2 C_2^1 C_2^1}{C_{12}{4}}$ 。另一种方法是从剩下的5双10只中任取1只，然后将与该只配套的手套扔掉，接着再从剩下的8只中再取1只，结果是 $\Large \frac{C_6^1 C_{10}^1 C_8^1}{C_{12}{4}}$ 。呃，又不相等了……原因只在于这里的 $C_{10}^1 C_8^1$ 又给两双手套排序了，而取手套本身( $C_{12}^4$ )是无序的。
　　从52张扑克牌中任取5张，求抓到一对的概率。 $\Large \frac{C_{13}^1 C_4^2 C_{12}^3{(C_4^1)}^3}{C_{52}^5}=0.423$ ，想想这是怎么得到的。
　　不可能事件发生的概率为0，但概率为0的不一定是不可能时间；同样必然事件发生的概率是1，但概率为1的却不一定是必然事件。这里的不一定是针对连续型随机变量而言的。
　　独立和互斥的关系。两个随机事件A和B，在P(A)>0且P(B)>0的情况下，A、B独立则A、B不互斥， A、B互斥则A、B不独立。P(A) = 0或者P(B) = 0时，两者等价。