方差的概念从小学就开始建立了。对于一个随机变量
，
分别表示其数学期望和方差，从中随机抽取n个样本
，
是样本均值，
是样本方差。那么为什么样本方差是除以
而不是n呢？
这里涉及到一个无偏估计的概念，是随机变量，
同样也是随机变量，其中
是对总体的一个估计，如果的期望分别等于的话，就说这种估计是无偏的。容易证明
，但是
的证明就不是那么显而易见了，下面我证明给大家看。记
为
的方差和期望。
![\large\begin{array}{rcl}<br />
D(\overline X)&=&D(\frac1n\sum_{i=1}^nX_i)\\[10pt]<br />
&=&\frac1{n^2}D(\sum_{i=1}^nX_i)\\[10pt]<br />
&=&\frac1{n^2}(\sum_{i=1}^nD(X_i))\\[10pt]<br />
&=&\frac{\sigma^2}n \\[10pt]<br />
\\<br />
E({\overline X}^2)&=&D(\overline X)+E^2(\overline X)\\<br />
&=&\frac{\sigma^2}n+\mu^2 \\<br />
\\<br />
E(S^2)&=&E(\frac1{n-1}\sum_{i=1}^n(X_i-\overline X )^2) \\[10pt]<br />
&=& \frac1{n-1}E(\sum_{i=1}^n(X_i-\overline X )^2) \\[10pt]<br />
&=& \frac1{n-1}E(\sum_{i=1}^n(X_i^2- 2 X_i{\overline X}+{\overline X}^2 ))\\[10pt]<br />
\\<br />
E(\sum_{i=1}^nX_i^2)&=&n E(X_i^2) \\<br />
&=& n(D(X_i)+E^2(X_i)) \\<br />
&=& n(\sigma^2+\mu^2) \\<br />
\\<br />
E(\sum_{i=1}^nX_i{\overline X})&=&E({\overline X}\sum_{i=1}^nX_i) \\[10pt]<br />
&=& nE({\overline X}^2)\\[10pt]<br />
&=& n(D(\overline X) + E^2(\overline X)) \\[10pt]<br />
&=& n(\frac{\sigma^2}{n}+\mu^2) \\[10pt]<br />
\\<br />
E(S^2) &=& \frac n{n-1}(\sigma^2+\mu^2)-\frac n{n-1}(\frac{\sigma^2}n+\mu^2) \\<br />
&=& \sigma^2 \\<br />
\end{array}<br />](http://www.dutor.net/wp-content/cache/e31252da06429435070a5017785e04a1.png)
证毕～～
写这篇文章可费了不少劲，大部分时间都花在了公式的编辑上面，这样写文章是不是很ooxx：
Editor using LaTeX
但比起用Mathtype编辑然后上传来说，要省多了，尤其是在熟练以后。
写这种篇文章还费了不少的水，一暖壶的水差不多被我喝干了。上卫生间时突然想起小时候和那帮家伙比尿尿，看谁尿的远，现在想来，那是很危险的，如果你的括约肌比较强劲的话……
你好！除了代码，此处没有多少原创之物，皆为本人搜集、整理、总结之记录与心得，欢迎转载分享！转载时请尽量注明出处，将不胜感激。祝你健康、快乐！
恩，比较强劲
LS是谁
1、关于样本方差的公式
当初看概率课本（浙大版）的时候我也很奇怪，课本上就莫名其妙地给出了这个公式。
最初自己认为当样本足够大的时候n和n-1其实相差不大，这样的话除了之后差别也不大。但实际上更多的时候样本其实可以很少，甚至只有两个样本，这样的话除出来差别就很大了。
后来继续看课本，到后面讲到“无偏估计”的时候竟然鬼使神差地又提回了这个样本方差的公式，后来才醒悟过来，原来是为了达到无偏估计呀。
dutor这里的证明跟课本上的思路一致，但是我觉得还有一个问题值得深究 – 为什么要有无偏估计？我觉得大致可以这样做进行理解（不知道是否正确，只是自己的猜测，所以希望能跟有兴趣的朋友讨论讨论）：概率论是研究理想状态的一种模型，而数理统计是从现实的样本出发来研究样本规律（从而对现实生活、实践做指导），概率和数理统计是两个问题，然而两者通过大数定律进行联系，之所以进行联系是因为我们希望对现实的样本进行建模以方便研究。于是对于所得到的统计数据，我们的一个最大的目标就是希望能够对它进行建模，于是我们对数据的各种处理的原则都要考虑这一点，而样本方差正是因为这样而不得不在无偏估计进行考虑，从而导致样本的方差是除以n-1而不是n。
2、关于latex的编排
我也觉得排版很麻烦，不过不直达dutor注意过陶哲轩的博客吗，那里使用Python驱动的LaTeX to WordPress直接对排版好的tex文档转换成html，然后复制粘贴过去就ok。不过这个程序好像不支持含有中文的tex文档。
你好！
1. 很钦佩你对数学的莫大兴趣和见解，我对概率论、数理统计、矩阵论一直都抱一种敬畏的态度，但一直没有较多的时间去系统的学习和深究。很认同你对概率论和数理统计关系的理解。关于无偏估计我想是不是还和“相信当前样本以最大概率出现”有些关系呢？没有足够的知识积淀，我不敢妄作论述 2. 我还知道一个JS库MathJax，可以部署自己独立的网页数学公式编辑环境，StackExchange的数学版块使用的就是这个库，只是这个库大了点。你可以体验一下。
PS. xdutor###gmail.com，如果你使用GTalk的话。
赞一个~~明白易懂~~^_^